2026-03-262026-03-26https://hdl.handle.net/20.500.14901/946Hesaplamalı Grup Teori alanında uluslararası bir araştırma projesi olan Matris Grup Tanıma Projesi (Matrix Group Recognition Project) amacı sonlu cisimler üzerinde tanımlı matris gruplar hakkındaki sorular için etkili algoritmalar üretmek ve üretilen bu algoritmaların analizlerini yapmaktır. Matris Grup Tanıma Projesi (MGTP) 1990'ların başına kadar uzanıyor ve buradaki ana hedef, bir dizi üreteç tarafından verilen bir matris grubunun kompozisyon ağacını hesaplayan bir algoritma üretmektir. Bir kompozisyon ağacından, grubun bir kompozisyon serisinin yanı sıra kompozisyon faktörleri arasında homomorfizmler kolayca oluşturulabilir. Bu ise grup hakkında temel yapısal bilgiler ve ayrıca daha ileri hesaplama görevleri için araçlar sağlar. Bir kompozisyon ağacı bulma yaklaşımı, başka bir gruba bir homomorfizm inşa ederek ve yinelemeli bir şekilde görüntünün kompozisyon ağacını ve homomorfizmin çekirdeğini bularak bir böl ve yönet stratejisi kullanmaktan başka bir şey değildir. Homomorfizmleri inşa etmek için, klasik grupların maksimal alt gruplarının bir sınıflandırması olan ve 9 kategoriden oluşan Aschbacher sınıflandırması kullanılır. Bu çalışma alanı, belirli bir matris grubunun belirli bir Aschbacher kategorisinde olup olmadığına karar vermek ve ilgili homomorfizmi oluşturmak için algoritmalar sunan birçok makale ve projeyle son zamanlarda oldukça ilerleme katetmiştir. Bu doğrultuda bugüne kadar Aschbacher sınıflarındaki tüm gruplar için indirgeme algoritmaları kurulmuştur (her bir sınıfa ait kurulan algoritmaların derlenmiş hali için Bäärnhielm vd, (2015) incelenebilir). Fakat, C_6 sınıfı için kurulan algoritmanın analizleri tamamlanamamıştır (bütün C_6 grupları için algoritmanın doğru sonuç verip vermediği gösterilememiştir). Dolayısıyla, bu kategorideki grupların yapısal özellikleri incelenememektedir. Projenin amacı, yapılamayan bu analizleri tamamlayarak bu sorunu ortadan kaldırmak ve MGTP?ye önemli bir katkı sağlamaktır. Proje önerisi, analizleri yaparken alt grup yapısını inceleme yöntemini büyük boyutlu matris gruplarında kullanması ve özellikle C_6 kategorisindeki gruplar olmak üzere Aschbacher sınıflandırmasındaki bütün gruplar için bundan sonra kurulacak olan indirgeme algoritmalarının analizlerine öncülük edecek olması bakımından özgün bir değer taşımaktadır. R bir ekstra-özel grup ve d=r^n (r asal) olmak üzere, N?N_GL(d,q) (R) nin alt grupları Aschbacher sınıflandırmasındaki C_6 kategorisini oluşturmaktadır. Daha açık olarak, bu kategoriye giren gruplar R?G?N şeklindeki G gruplarıdır. Ayrıca, N nin yapısı genel olarak Z(GL(d,q))?R.Sp(2n,r) şeklinde olup G/R?N/R?Sp(2n,r) dir. Bu yüzden, C_6 grupları için verilen indirgeme algoritmasının analizleri Brooksbank vd. (2006) tarafından algortimanın da kurulduğu yayında n=2 için Sp(4,r) nin alt grupları kullanılarak ve Çağman ve Ankaralıoğlu (2016) tarafından n=3 için Sp(6,r) nin alt grupları kullanılarak kısmi olarak yapılmıştır. Bu projenin amacı doğrultusunda; Bray vd. (2013)?ten (boyutu 12 ye kadar olan klasik gruplar için) yararlanarak, n=3 için kalan analizleri tamamlamak, Sp(8,r),Sp(10,r) ve Sp(12,r) nin çözülebilir alt gruplarının maksimum türev uzunluğunu bulmak, Sp(8,r),Sp(10,r) ve Sp(12,r) nin maksimal alt gruplarının çözülebilir kalanlarını bulmak, i ve ii den yararlanarak Sp(8,r),Sp(10,r) ve Sp(12,r) için analizleri tamamlamak, Kleidman ve Liebeck (1990)?tan (boyutu 12 den büyük olan klasik gruplar için) ve bir önceki analizlerden yararlanarak, Sp(2n,r) yani genel durum için algoritmanın başarılı sonuç ürettiğini göstermek, hedeflenmektedir. Projede şu yöntem kullanılacaktır: Öncelikle çözülebilir daha sonra perfect olan C_6 grupları için analizler yapılacak ve bu analizlere bağlı olarak genel durum için algoritmanın başarılı olduğu gösterilecektir.The purpose of the Matrix Group Recognition Project, which is an international research project in the field of Computational Group Theory, is to produce effective algorithms for questions about matrix groups defined over finite fields and to analyze these algorithms. The Matrix Group Recognition Project (MGTP) dates back to the early 1990s and the main goal here was to produce an algorithm that computes the composition tree of a group of matrix given by a set of generators. From a composition tree, homomorphisms can be easily created between composition factors as well as a composition series of the group. This provides basic structural information about the group as well as tools for further computational tasks. The approach to finding a composition tree is nothing more than using a divide-and-conquer technique by constructing a homomorphism into another group and iteratively finding the composition tree of the image and the kernel of the homomorphism. To construct homomorphisms, the Aschbacher classification, which is a classification of maximal subgroups of classical groups and consists of 9 categories, is used. This field of study has made considerable progress recently, with many articles and projects presenting algorithms for deciding whether a certain matrix group is in a particular Aschbacher category and generating the corresponding homomorphism. In this direction, reduction algorithms have been established for all groups in Aschbacher classes so far (Bäärnhielm et al., (2015) can be examined for the compiled algorithms of each class). But, analysis of the algorithm designed for C_6 class couldn’t been completed since all maximal subgroups of Sp(2n,r) have not been known (as couldn’t been shown that the algorithm gives correct result for all C_6 groups). So, the structural properties of groups in this class is unable to be examined. The aim of this project is to eliminate this problem by completing these analysis and to contribute to the MGRP. Our study is original in terms of using investigation of subgroup structure technique for the first time in high dimensional matrix groups and leading the analysis of reduction algorithms being set up hereafter for all groups in Aschbacher classification especially the groups in the category C_6. The subgroups of N≔N_GL(d,q) (R) form the class C_6 in the Aschbacher classification where R be an extra-special group and d=r^n (r prime). Clearly, the groups in this category are the groups G such that R⊴G≤N. Furthermore, in general the structure of N is such that Z(GL(d,q))∘R.Sp(2n,r) and so G/R≤N/R≅Sp(2n,r). Thus, the analyzes of the reduction algorithm given for C_6 groups were performed by Brooksbank et. al. (2006) in the publication in which the algorithm was also established, using the subgroups of Sp(4,r) for n=2 and partially by Çağman and Ankaralıoğlu (2016) using the subgroups Sp(6,r) for n=3. In the direction of this project’s aim it is objected to; Using Bray et. al. (2013) (for classical groups up to dimension 12), completing the remaining analyzes for n=3, find the maximal derived length of solvable subgroups of Sp(8,r),Sp(10,r) and Sp(12,r), find the soluble residuals of maximal subgroups of Sp(8,r),Sp(10,r) and Sp(12,r), complete the analyzes for Sp(8,r),Sp(10,r) and Sp(12,r) with the aid of i and ii, Drawing on Kleidman ve Liebeck (1990) (for classical groups larger than 12 in dimension) and previous analyzes, prove that the algorithm runs succesfully for Sp(2n,r), i.e. the general case. In the project following procedure is going to be used: the analyzes of the algorithm will be done firstly for solvable and then perfect C_6 groups and so depending on these analyzes, it will be shown that the algorithm runs succesfully for the general case. If the project is realized successfully, the principal investigator will contribute to MGTP and play a major role in the transition of the "recog" package within the body of GAP (Groups, Algorithms and Programming) from the "deposited packages" class to the "accepted packages" class. In addition, the principal investigator aims to become one of the few people who represent our country on this platform by becoming a member of the GAP family by being among the authors of the package mentioned with this project. Being in the GAP family will greatly contribute to the career of the principal investigator in terms of scientific collaborations to be developed.